Appunti di Analisi Matematica Uno

di Emanuele Paolini

Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica del corso di studi in Fisica dell'Università di Pisa negli anni accademici 2017/18 e 2018/19.

Le note (come il corso a cui fanno riferimento) riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile reale. Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, il calcolo differenziale e il calcolo integrale. Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie di potenze e nella definizione delle funzioni trigonometriche).

Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. Troveremo, ad esempio, definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione analitica (tramite serie di potenze) delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, della formula di Stirling e di Wallis, e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau $o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali lineari con il metodo di similarità.

I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali se i risultati importanti non sono del tutto chiari. Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse è presente un QR-code (un quadrato formato da una nuvola di pixel) che permette di accedere alla figura online e modicarne i parametri. Nella versione PDF il QR-code è cliccabile. Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio smartphone per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. Di seguito in questa pagina trovate l'elenco con i collegamenti alle figure interattive.

Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che in forma di sorgente LaTeX. Il materiale è costantemente in evoluzione e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è benvenuto!

collegamenti utili

riferimenti presenti nel testo